相似の問題①　トンガリとチョウチョ

チョウチョとは

下の図のような形をチョウチョといいます。（私が勝手にチョウチョと名付けました。）

上の図で、辺ABと辺CDが平行ならば、三角形EABと三角形ECDは相似です。（相似の解説はこちら）
ただし、必ず辺ABと辺CDが平行でなければなりません。平行であることを確認し忘れて間違える人が多いので、気をつけましょう。

（例題1）

上の図の、直線ABと直線CDは平行です。AB＝10cm、CD＝5cm、EA＝8cmのとき、辺ACは何cmでしょう。

三角形EABと三角形ECDはチョウチョの形で、しかも辺ABと辺CDは平行なので、相似です。対応する辺の組でどちらも長さがわかっているのは、辺ABと辺CDの組です。

辺AB:辺CD＝10cm:5cm＝2:1

よって、ふたつの三角形の相似比は2:1です。だから、辺EA:辺ECも2:1です。なので、辺EA:辺ACは2:3になります。

これをもとに比例式を作ると、

2:3＝8cm:a
2×a＝24
a＝12
（比例式の解き方）

よって答えは

12cm

トンガリとは

下の図のような形をトンガリといいます。（私が勝手にトンガリと名付けました。）

上の図で、辺DEと辺BCが平行ならば、三角形ADEと三角形ABCは相似です。こちらも、必ず平行であることを確認してください。それと、チョウチョの形と比べて、三角形の位置関係を間違えやすいです。繰り返しになりますが、相似なのは三角形ADEと三角形ABCです。間違えないようにしましょう。

（例題1）

上の図の、直線DEと直線BCは平行です。AD＝4cm、DB＝6cm、DE＝3cmのとき、辺BCは何cmでしょう。

三角形ADEと三角形ABCはトンガリの形で、しかも辺DEと辺BCは平行なので、相似です。対応する辺の組でどちらも長さがわかっているのは、辺ADと辺ABの組です。もう一度書きますが、辺ADと辺ABの組。決して辺ADと辺DBで比べないでください。とても間違えやすいので注意してください。

辺AD:辺AB＝4cm:10cm＝2:5

よって、ふたつの三角形の相似比は2:5です。だから、辺DE:辺BCも2:5です。これをもとに比例式を作ると、

2:5＝3cm:a
2×a＝15
a＝7.5

よって答えは

7.5cm

もう一度書きますが（←しつこい）、対応する辺の位置に注意してください。
なお、「トンガリ」の名前の由来は、ツメに装着して食べるあのお菓子です。あんまり似てないけど。
それでは、トンガリとチョウチョをまとめます。

まとめ

チョウチョの形は相似。平行であることを必ず確認すること。
トンガリの形は相似。平行であることを必ず確認すること。
相似比を求めて、比例式を作る。

次は、トンガリとチョウチョが混ざった問題を解いてみます。

トンガリとチョウチョは隠れている

ここまでで解説したトンガリとチョウチョですが、面積と辺の比の時と同じように、タテ・ヨコ・ナナメにひっくり返っていたり、巧妙に隠されていたりします。いろいろな所に隠されているので、練習をたくさんして見つけられるようにしましょう。
先ほどからから何度も何度も書いていますが（←しつこい）、必ず平行であることを確認してからトンガリとチョウチョを使ってください。逆に、問題文に「平行」という文字があったら「トンガリとチョウチョを使うかも。探してみよう！」と思うようにしましょう。特に「平行四辺形」や「ひし形」という言葉にも反応してください。平行四辺形というだけで平行線が2組ありますので、トンガリチョウチョ率高いです！

（例題2）

上の図の、直線ABと直線EFと直線CDは平行です。AB＝24cm、CD＝40cmのとき、辺EFは何cmでしょう。